闭曲线的面积计算

Dec 19, 2025

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平面直角坐标系

这里暂时先给出由参数方程定义的闭曲线的面积的求解方法。

设有闭曲线

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$

我们现在要计算这个图形围成的面积，考虑使用微元法。

设 $P_1(x(t),y(t)) , P_2(x(t + dt),y(t + dt))$ ，其中 $dt \rightarrow 0$

则曲线段 $\overline{P_1P_2}$ 与原点 $O$ 围成的曲边三角形的面积可近似看作以 $P_1P_2$ 为底边的三角形，同时当 $dt \rightarrow 0$ 时，有：

$$x(t + dt) = x(t) + x'(t)dt \,\, , \,\, y(t + dt) = y(t) + y'(t)dt$$

同时由平面上三点围成的三角形的面积计算公式

$$S = \frac {1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

得该三角形面积为：

$$S = \frac {1}{2} |x(t)[y(t) + y'(t)dt - 0] + [x(t) + x'(t)dt][0 - y(t)] + 0 \cdot [y(t) - y(t) - y'(t)dt]|$$ $$S = \frac {1}{2} |x(t)y(t) + x(t)y'(t)dt - x(t)y(t) - y(t)x'(t)dt|$$ $$S = \frac {1}{2} |x(t)y'(t)dt - y(t)x'(t)dt|$$

假设 $t \in [\alpha , \beta]$ ，则此时对于整个图形的面积，可由对 $t$ 积分得出

$$S = \frac {1}{2} |\int_{\alpha}^{\beta} x(t)y'(t)dt - \int_{\alpha}^{\beta} y(t)x'(t)dt|$$ $$S = \frac {1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} |x(t)y'(t) - y(t)x'(t)|dt$$

极坐标

平面上的点 $P$ 可以用极坐标表示：

$$P(r, \theta)$$

其中 $r$ 为 $P$ 到原点 $O$ 的距离，$\theta$ 为 $OP$ 与 $x$ 轴正半轴之间的角度。

平面直角坐标系坐标可由极坐标表示：

$$\begin{cases} x = r \, cos \theta \\ y = r \, sin \theta \end{cases}$$

则有极坐标方程

$$\rho = f(\theta)$$

代表一条曲线，若曲线为封闭曲线，则现在要求它围成的面积。

对于曲线上的两点 $P_1,P_2$ 与原点 $O$ 围成的扇形，假设从 $P_1$ 到 $P_2$ 的角度变化量为 $d\theta$ ，且 $d\theta \rightarrow 0$ ，则扇形面积可近似看作

$$\frac {1}{2} f^2(\theta) d\theta$$

则对 $\theta$ 积分即得整体面积：

$$S = \frac {1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} f^2(\theta) d\theta$$