特征值与特征向量

Jan 1, 2026

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定义

在线性代数中，对于给定的方阵 $A$ ，它的特征向量在该方阵经过线性变换后，所得到的新的向量与原来的向量在同一条直线上，即方向相同或刚好夹角呈 $180°$ ，长度呈比例缩放，则这样的向量称为特征向量，这个比例称为特征值。

更标准地，给定一个向量空间 $\mathbb{E}$ ，从 $\mathbb{E}$ 到 $\mathbb{E}$ 自身的线性变换 $T$ 是一个保持向量加法和标量乘法这两种运算的函数，例如旋转、反射、错切、压缩，或者这些变换的组合等等。一个线性变换可以通过它们在向量上的作用来可视化。一般来说，一个向量在经过映射之后可以变成任何可能的向量，而特征向量具有更好的性质。

一个线性变换 $T : \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E}$ 的特征向量 $v$ 是一个非零向量且在这个线性变换下的新向量为 $v$ 简单地乘以一个标量 $\lambda$ 。也就是说存在一个标量 $\lambda$ 使得 $v$满足下式：

$$T(v) = \lambda v$$

其中的缩放因子 $\lambda$ 称为这个特征向量的特征值，或者说是线性变换 $T$ 的特征值。反过来，一个实数 $\lambda$ 是线性变换 $T$ 的一个特征值，当且仅当有一个非零向量 $v$ 满足上面的式子。

所有具有相同特征值 $\lambda$ 的特征向量与零向量一起，组成了一个向量空间，称为线性变换的一个特征空间，一般记作 $\mathbb{E}_{\lambda}(T)$ 。这个特征空间如果是有限维的，那么它的维数叫做 $\lambda$ 的几何重数。

变换的主特征向量是模最大的特征值对应的特征向量。有限维向量空间上一个变换的谱是其所有特征值的集合。

特征向量也可以看做是关于系数 $\lambda$ 的方程：

$$T(x) = \lambda x$$

的非零解。显然只有在 $\lambda$ 是变换 $T$ 的特征值之时，方程才有非零解。

计算

特征方程

对于一个线性变换 $T$ ，其可由矩阵 $A$ 表示，则有特征方程：

$$Av = \lambda v$$

移项得：

$$(A - \lambda I)v = 0$$

由于 $v \not ={0}$ ，这意味着 $A - \lambda I$ 必须不可逆，即：

$$det(A - \lambda I) = 0$$

这个关于 $\lambda$ 的方程叫做特征方程。

多项式 $p(\lambda) = det(A - \lambda I)$ 叫做特征多项式

由特征方程可以求解得到 $\lambda$ 的值，从而对每个特征值 $\lambda_{i}$ ，求解齐次线性方程组：

$$(A - \lambda_{i}I)v = 0$$

得到的基础解系的非零线性组合就是属于 $\lambda_{i}$ 的全部特征向量。

重要性质与计算技巧

特征值与矩阵运算

$\bullet tr(A) = \lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda{3} + \dots + \lambda_{n}$ （迹 = 特征值之和）

$\bullet det(A) = \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} \dots \lambda_{n}$

$\bullet A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 所有特征值非零

$\bullet$ ,若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 的特征值是 $\dfrac{1}{\lambda_{i}}$ ，特征向量相同。

$\bullet A^k$ 的特征值是 $\lambda_{i}^{k}$ ，特征向量相同。

$\bullet$ $A$ 和 $A$ 的转置 $A^T$ 的特征值相同。$A$ 的特征多项式和 $A^T$ 相同。

$\bullet$ 多项式 $p(A)$ 的特征值是 $p(\lambda_{i})$ ，特征向量相同。

特殊矩阵的特征值

$\bullet$ 对角矩阵：特征值就是对角元

$\bullet$ 三角矩阵：特征值也是对角元

$\bullet$ 实对称矩阵：特征值全是实数，不同特征值对应的特征向量正交

$\bullet$ 正交矩阵：特征值的模长 $∣λ∣=1$

$\bullet$ 幂等矩阵（$A^2 = A$ ）：特征值只能是 0 或 1

$\bullet$ 对合矩阵（$A^2 = I$）：特征值只能是 1 或 -1

特征值与相似

若 $A = PBP^{-1}$ ，则 $A$ 与 $B$ 特征值相同，特征向量满足：若 $B$ 有特征向量 $u$ ，则 $A$ 有特征向量 $Pu$

注意事项

1.特征向量必须非零。

2.一个特征值对应的特征向量有无限多个（构成特征子空间）。

3.重特征值的特征子空间维数可能小于代数重数，此时矩阵不可对角化。

4.不同特征值对应的特征向量线性无关,所以不同特征值对应的特征空间维数加起来 $≤ n$