关于有理函数积分中最复杂的形式

Dec 3, 2025

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即积分

$$\int \frac {Bx+C}{(x^2+px+q)^l}dx$$

我们采用分部积分法和递推公式来求解此类积分。

首先，我们将分母中的 $x^2+px+q$ 标准化，使其变成 $u^2+a^2$ 的形式。

则可以考虑以下配凑：

$$x^2+px+q=(x+ \frac {p}{2})^2+(q- \frac {p^2}{4})$$

则可以令

$$u=x+ \frac {p}{2},a^2=q- \frac {p^2}{4}$$

其中我们已知 $x^2+px+q$ 已为不可因式分解的形式，所以有 $\Delta=p^2-4q<0 \Rightarrow q- \frac {p^2}{4}>0 \Rightarrow a^2>0$ 成立。

则 $du=dx,x=u - \frac {p}{2}$ ，代回原式得：

$$\int \frac {Bx+C}{(x^2+px+q)^l}dx = \int \frac {B(u - \frac {p}{2}) + C}{(u^2 + a^2)^l}du$$

则原式化为两个积分：

$$B \int \frac {u}{(u^2+a^2)^l}du + (C - \frac {Bp}{2}) \int \frac {du}{(u^2+a^2)^l} \tag {①}$$

对于第一个积分，我们通过换元积分法很容易求出：

设 $t=u^2+a^2$ ，则 $dt=2udu$

故

$$B \int \frac {u}{(u^2+a^2)^l}du = \frac {B}{2} \int \frac {dt}{t^l} = - \frac {B}{2(l-1)t^{l-1}} + C$$

现在我们来看第二个积分，这是求解的关键部分。

我们设

$$J_l = \int \frac {du}{(u^2+a^2)^l}$$

将其变形为：

$$\int \frac {(u^2+a^2)-u^2}{(u^2+a^2)^l} \cdot \frac {1}{a^2} du$$

将其拆为两个积分：

$$\frac {1}{a^2} [\int \frac {1}{(u^2+a^2)^{l-1}}du - \int \frac {u^2}{(u^2+a^2)^l}du]$$ $$\frac {1}{a^2}[J_{l-1} - \int \frac {u^2}{(u^2+a^2)^l}du] \tag {②}$$

现在对右边的积分使用分部积分法：

$$\int \frac {u^2}{(u^2+a^2)^l}du = \int u \cdot \frac {u}{(u^2+a^2)^l}du$$

令 $v=u,dw= \dfrac {u}{(u^2+a^2)^l}du$

则

$$dv=du,w = \int \dfrac {u}{(u^2+a^2)^l}du = \dfrac {1}{2(1-l)(u^2+a^2)^{l-1}}$$

代回得：

$$\int \frac {u^2}{(u^2+a^2)^l}du = \frac {u}{2(1-l)(u^2+a^2)^{l-1}} - \frac {1}{2(1-l)} \int \frac {du}{(u^2+a^2)^{l-1}}$$

整理得：

$$\frac {1}{2(l-1)}J_{l-1} - \frac {u}{2(l-1)(u^2+a^2)^{l-1}}$$

将该式代回 $②$ 式得：

$$J_l = \frac {1}{a^2} [\frac {2l-3}{2(l-1)}J_{l-1} + \frac {u}{2(l-1)(u^2+a^2)^{l-1}}]$$

其中基础解

$$J_1 = \frac {1}{a} arctan(\frac {u}{a})$$

则最终结果为：

$$\int \frac {Bx+C}{(x^2+px+q)^l}dx = - \frac {B}{2(l-1)(u^2+a^2)^{l-1}} + C + (C - \frac {Bp}{2})J_l$$

其中 $J_l$ 可由递推公式求出。