雅可比矩阵和微元变换

雅可比矩阵和微元变换

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雅可比矩阵

本质思想：在局部，所有的曲线运动看起来都是直线的。

在一维函数中，只有一个变量 f(x)f(x)，则此时它的导数 f′(x)f'(x) 就是切线的斜率。

但当此时为多变量函数 f:Rn→Rm\mathbf{f}:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}，此时”斜率”变为了一个矩阵。

假设函数 f\mathbf{f} 由 mm 个分量函数组成：

f(x1,…,xn)=[f1(x1,…,xn)⋮fm(x1,…,xn)]f(x_{1}, \dots, x_{n}) = \begin{bmatrix} f_{1}(x_{1}, \dots, x_{n}) \\ \vdots \\ f_{m}(x_{1}, \dots, x_{n}) \end{bmatrix}

那么雅可比矩阵 JJ 就是由所有偏导数组成的 m×nm \times n 矩阵：

J=[∂f1∂x1…∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1…∂fm∂xn]J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}

简单来说，第 ii 行第 jj 列的元素，描述的就是：当第 jj 个输入变量发生微小变动时，第 ii 个输出变量会怎么变

微元变换

当计算重积分时，如果想从直角坐标系 (x,y)(x, y) 换元到极坐标或者自定义的 (u,v)(u, v) 坐标系，不能简单地写 dxdy=dudvdxdy = dudv，因为空间被拉伸，需要应用雅可比行列式的绝对值作为缩放因子来进行调整。

具体地：

∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))⋅∣det(∂(x,y)∂(u,v))∣dudv\iint_{D} f(x, y) dxdy = \iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot | \text{det} (\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}) | dudv