定积分与不定积分

Dec 5, 2025

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今天讲了定积分，但是没听课，嗯，于是自己看了一下，问了一下AI，差不多搞懂了，稍微总结一下。

其实感觉老师PPT里讲得非常稀里糊涂的，云遮雾绕，让人看不太懂。但是AI讲得非常透彻，一下子就搞明白了，没有那么多稀奇古怪的东西。

首先需要理解，定积分是一个数值，可能是面积，可能是路程，或者说别的什么东西。而不定积分则是一种运算，由当前函数积分得到原函数族（因为有常数 $C$ ），两个东西看起来没什么关联是吧，我们接下来引入一个重要的概念，也就是微积分基本定理。

第一部分：由定积分定义原函数：

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。定义 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ （这是一个积分上限函数）。

那么， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即：

$$F'(x) = \frac {d}{dx} (\int_{a}^{x} f(t)dt) = f(x)$$

这一定理表明：任何一个连续函数都有原函数，并且这个原函数可以用定积分来构造。

第二部分（牛顿-莱布尼茨公式，计算定积分的钥匙）：

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$ ），则有：

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$$

常记作 $F(x) |_{a}^{b}$ 或 $[F(x)] |_{a}^{b}$

所以它告诉我们：

要计算一个定积分，我们不需要进行复杂的极限求和，只需要找到被积函数的任何一个原函数（即求其不定积分），然后将上下限代入原函数求差即可）

想象一个距离-速度问题：

$\bullet$ 不定积分：已知速度 $v(t)$ ，求位移函数 $s(t) + C$ 。由于不知道起点，所以有一族函数（常数 $C$ 代表初始位置）

$\bullet$ 定积分：已知速度 $v(t)$ ，求在特定时间区间 $[a,b]$ 内走过的总路程 。这是一个具体的数值。

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）说的就是：要计算从时间 $a$ 到 $b$ 的总路程（定积分），你不需要把每一小段路累加，只需要用终点时刻的位移函数值 $s(b)$ 减去起点时刻的位移函数值 $s(a)$ 即可。而位移函数 $s(t)$ 正是速度函数 $v(t)$ 的不定积分。

其中对于第一部分，有如下解释：

假设 $f(t)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续。

我们固定积分下限为 $a$ ，而让积分上限 $x$ 在 $[a,b]$ 内变化。

从而可以定义一个新函数 $F(x)$ 如下：

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$$

这个 $F(x)$ 的几何意义是什么？

当 $f(t)≥0$ 时，$F(x)$ 表示从 固定起点 $t=a$ 到 可变终点 $t=x$ 之间，曲线 $y=f(t)$ 之下的面积。

当 $f(t)$ 有正有负时，$F(x)$ 表示有向面积的代数和。

直观理解

为什么 $F'(x) = f(x)$ ？

从导数定义出发：

$$F(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {F(x+h)-F(x)}{h}$$

其中对于分子，有：

$$F(x+h)-F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t)dt - \int_{a}^{x} f(t)dt$$

根据定积分的区间可加性，有：

$$F(x+h) - F(x) = \int_{x}^{x+h} f(t)dt$$

所以分子是函数 $f(t)$ 在极小区间 $[x,x+h]$ 上的定积分。

从几何意义上来看，这是一个由曲线 $y = f(t)$ 在区间 $[x,x+h]$ 上与坐标轴围成的一小条面积，当 $h \rightarrow 0$ 时，可以近似看作一个高为 $f(x)$ ，宽为 $h$ 的矩形面积，因此近似有：

$$\int_{x}^{x+h} = f(t)dt \approx f(x) \cdot h$$

代回导数表示式得：

$$F'(x) = \frac {f(x) \cdot h}{h} = f(x)$$

因此，通过构造这样的一个函数 $F(x)$ ，可以证明任何连续函数都一定存在原函数。这个原函数就是由它构造的积分上限函数。

总结：

$\bullet$ 不定积分是工具，是过程，目的是找到原函数。

$\bullet$ 定积分是目标，是数值，目的是计算某种累积量（面积、体积、功等）。

$\bullet$ 微积分基本定理（尤其是牛顿-莱布尼茨公式）是连接两者的桥梁。它使得我们可以用相对容易的“求原函数”的方法，来解决困难的“求和极限”问题。