关于线性变换

Dec 3, 2025

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如果一种运算满足 $T(x+y)=T(x)+T(y)$ ，且 $T(cx)=cT(x)$ ，则这种运算是线性的。

左乘矩阵改变的是向量本身，属于线性变换。

右乘矩阵表示一种复合变换，两个矩阵连续相乘，就相当于连续执行两次变换，两次操作的效果叠加在一起。

此处指的向量不仅仅只有几何意义上空间中的向量，它是更加广义的，对于两个对象 $u,v$ ,只要满足：

1.$u+v$ 也还在一个集合中

2.$cu$ （常数乘以相应的对象）也在同一个集合中

3.满足交换律，分配律，结合律这些线性的规则

这种对象就可以被称为向量。

比如普通的箭头、数组、列向量，乃至函数、多项式、图像、信号、概率分布都是向量。

线性变换本质上是一个函数：

$$T:V\to W$$

表示这个线性变换把一个向量空间 $V$ 映射到另一个向量空间 $W$ 中。

这个向量空间可以是几何意义上的空间，也可以是数的空间、函数的空间，乃至图像的空间。

有几个例子：

比如导数，我们可以设线性变换 $T(f)=f'$ ，则对任意的函数应用这个线性变换就可以得到对应的导数。为什么我们可以这样做？因为对一个函数求导是满足线性规则的：

$$f'(x+y)=f'(x)+f'(y)$$ $$f'(ax)=af'(x)$$

因此线性显然。

同样的，设 $p(x)$ 为一个关于 $x$ 的多项式，则有线性变换： $T(p(x))=xp(x)$ ，效果相当于给一个多项式乘上 $x$ ，因为多项式乘上一个 $x$ 得到的结果还是多项式，所以仍然在这个“多项式空间”中。同样的，它满足线性规则。

更为经典的，我们有线性变换 $T(A)=A^T$ ，即为矩阵的转置变换，应用变换后结果仍为矩阵，且有

$$(A+B)^T=A^T+B^T$$ $$(aA)^T=aA^T$$

同样满足线性规则。

总结一下，这里指的向量并非简单的几何上的箭头，而是任何可以被线性描述，具有线性性质的对象。

而线性变换也不只是局部意义上的拉伸或旋转，而是对这些线性对象执行能保持其线性性质的操作。

对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ ，我们将它左乘到一个线性的对象上，就相当于把原来 $n$ 维的信息转换为 $m$ 维的信息。